二叉搜索树 & 平衡树

定义

二叉搜索树是一种二叉树的树形数据结构，其定义如下：

空树是二叉搜索树。
若二叉搜索树的左子树不为空，则其左子树上所有点的附加权值均小于其根节点的值。
若二叉搜索树的右子树不为空，则其右子树上所有点的附加权值均大于其根节点的值。
二叉搜索树的左右子树均为二叉搜索树。

二叉搜索树上的基本操作所花费的时间与这棵树的高度成正比。对于一个有 \(n\) 个结点的二叉搜索树中，这些操作的最优时间复杂度为 \(O(\log n)\)，最坏为 \(O(n)\)。随机构造这样一棵二叉搜索树的期望高度为 \(O(\log n)\)。

过程

在接下来的代码块中，我们约定 \(n\) 为结点个数，\(h\) 为高度，val[x] 为结点 \(x\) 处存的数值，cnt[x] 为结点 \(x\) 存的值所出现的次数，lc[x] 和 rc[x] 分别为结点 \(x\) 的左子结点和右子结点，siz[x] 为结点的子树大小。

遍历二叉搜索树

由二叉搜索树的递归定义可得，二叉搜索树的中序遍历权值的序列为非降的序列。时间复杂度为 \(O(n)\)。

遍历一棵二叉搜索树的代码如下：

实现

C++
void print(int o) {
  // 遍历以 o 为根节点的二叉搜索树
  if (!o) return;  // 遇到空树，返回
  print(lc[o]);    // 递归遍历左子树
  for (int i = 1; i <= cnt[o]; i++) printf("%d\n", val[o]);  // 输出根节点信息
  print(rc[o]);  // 递归遍历右子树
}

查找最小/最大值

由二叉搜索树的性质可得，二叉搜索树上的最小值为二叉搜索树左链的顶点，最大值为二叉搜索树右链的顶点。时间复杂度为 \(O(h)\)。

findmin 和 findmax 函数分别返回最小值和最大值所对应的结点编号 \(o\)，用 val[o] 可以获得相应的最小/最大值。

实现

C++
int findmin(int o) {
  if (!lc[o]) return o;
  return findmin(lc[o]);  // 一直向左儿子跳
}

int findmax(int o) {
  if (!rc[o]) return o;
  return findmax(rc[o]);  // 一直向右儿子跳
}

插入一个元素

定义 insert(o,v) 为在以 \(o\) 为根节点的二叉搜索树中插入一个值为 \(v\) 的新节点。

分类讨论如下：

若 \(o\) 为空，直接返回一个值为 \(v\) 的新节点。

若 \(o\) 的权值等于 \(v\)，该节点的附加域该值出现的次数自增 \(1\)。

若 \(o\) 的权值大于 \(v\)，在 \(o\) 的左子树中插入权值为 \(v\) 的节点。

若 \(o\) 的权值小于 \(v\)，在 \(o\) 的右子树中插入权值为 \(v\) 的节点。

时间复杂度为 \(O(h)\)。

实现

C++
void insert(int& o, int v) {
  if (!o) {
    val[o = ++n] = v;
    cnt[o] = siz[o] = 1;
    lc[o] = rc[o] = 0;
    return;
  }
  siz[o]++;
  if (val[o] == v) {
    cnt[o]++;
    return;
  }
  if (val[o] > v) insert(lc[o], v);
  if (val[o] < v) insert(rc[o], v);
}

删除一个元素

定义 del(o,v) 为在以 \(o\) 为根节点的二叉搜索树中删除一个值为 \(v\) 的节点。

先在二叉搜索树中找到权值为 \(v\) 的节点，分类讨论如下：

若该节点的附加 \(\textit{cnt}\) 大于 \(1\)，只需要减少 \(\textit{cnt}\)。

若该节点的附加 \(\textit{cnt}\) 为 \(1\)：

若 \(o\) 为叶子节点，直接删除该节点即可。

若 \(o\) 为链节点，即只有一个儿子的节点，返回这个儿子。

若 \(o\) 有两个非空子节点，一般是用它左子树的最大值或右子树的最小值代替它，然后将它删除。

时间复杂度 \(O(h)\)。

实现

C++
int deletemin(int& o) {
  if (!lc[o]) {
    int u = o;
    o = rc[o];
    return u;
  } else {
    int u = deletemin(lc[o]);
    siz[o] -= cnt[u];
    return u;
  }
}

void del(int& o, int v) {
  // 注意 o 有可能会被修改
  siz[o]--;
  if (val[o] == v) {
    if (cnt[o] > 1) {
      cnt[o]--;
      return;
    }
    if (lc[o] && rc[o]) {
      int t = deletemin(rc[o]);
      lc[t] = lc[o];
      rc[t] = rc[o];
      siz[t] = siz[o];
      o = t;
    }
    // 这里以找右子树的最小值为例
    else
      o = lc[o] + rc[o];
    return;
  }
  if (val[o] > v) del(lc[o], v);
  if (val[o] < v) del(rc[o], v);
}

求元素的排名

排名定义为将数组元素排序后第一个相同元素之前的数的个数加一。

查找一个元素的排名，首先从根节点跳到这个元素，若向右跳，答案加上左儿子节点个数加当前节点重复的数个数，最后答案加上终点的左儿子子树大小加一。

时间复杂度 \(O(h)\)。

实现

C++
int queryrnk(int o, int v) {
  if (val[o] == v) return siz[lc[o]] + 1;
  if (val[o] > v) return queryrnk(lc[o], v);
  if (val[o] < v) return queryrnk(rc[o], v) + siz[lc[o]] + cnt[o];
}

查找排名为 k 的元素

在一棵子树中，根节点的排名取决于其左子树的大小。

若其左子树的大小大于等于 \(k\)，则该元素在左子树中；

若其左子树的大小在区间 \([k-\textit{cnt},k-1]\)（\(\textit{cnt}\) 为当前结点的值的出现次数）中，则该元素为子树的根节点；

若其左子树的大小小于 \(k-\textit{cnt}\)，则该元素在右子树中。

时间复杂度 \(O(h)\)。

实现

C++
int querykth(int o, int k) {
  if (siz[lc[o]] >= k) return querykth(lc[o], k);
  if (siz[lc[o]] < k - cnt[o]) return querykth(rc[o], k - siz[lc[o]] - cnt[o]);
  return val[o];
  // 如要找排名为 k 的元素所对应的结点，直接 return o 即可
}

平衡树简介

使用二叉搜索树的目的之一是缩短插入与查找时间，一棵合理的二叉搜索树插入与查找时间可以缩短到 \(O(\log_2 n)\)。

对于一般的二叉搜索树，有可能退化为链表。想象一棵每个结点只有右孩子的二叉搜索树，那么它的性质就和链表一样，插入与查找时间都是 \(O(n)\)，可以说是极大的时间浪费，所以研究平衡二叉搜索树是非常有必要的。

关于查找效率分析，如果树的高度为 \(h\)，则在最坏的情况，查找一个关键字需要对比 \(h\) 次，查找时间复杂度（也为平均查找长度 ASL，Average Search Length）不超过 \(O(h)\)。

二叉搜索树的「平衡」概念是指：每一个结点的左子树和右子树高度差最多为 \(1\)。

可以对不满足平衡条件的二叉搜索树进行调整，使不平衡的二叉搜索树变得平衡。

调整要保证的标准还有二叉搜索树先天自带的条件：二叉搜索树，按照中序遍历，得到从小到大的结点值序列。对于任意一个结点，左子树各结点的最大值，小于该结点的值；该结点的值，小于右子树各结点的最小值。只有保证这一点才能称为一个二叉搜索树。

对于拥有同样元素值集合的二叉搜索树，平衡状态可能是不唯一的。也就是说，可能两棵不同的二叉搜索树，含有的元素值集合相同，并且都是平衡的。

过程

保证中序遍历序列不变的平衡调整，基本操作为 右旋（rotate right 或者 zig） 和 左旋（rotate left 或者 zag）。这两种操作均不改变中序遍历序列。

在这里先介绍右旋，右旋也称为「右单旋转」或「LL 平衡旋转」。对于结点 \(A\) 的右旋操作是指：将 \(A\) 的左孩子 \(B\) 向右上旋转，代替 \(A\) 成为根节点，将 \(A\) 结点向右下旋转成为 \(B\) 的右子树的根结点，\(B\) 的原来的右子树变为 \(A\) 的左子树。

右旋操作只改变了三组结点关联，相当于对三组边进行循环置换一下，因此需要暂存一个结点再进行轮换更新。

对于右旋操作一般的更新顺序是：暂存 \(B\) 结点，先让 \(A\) 的左孩子指向 \(B\) 的右子树 \(BR\)，再让 \(B\) 的右孩子指针指向 \(A\)（\(A\) 被它的父结点指向），最后让 \(A\) 的父结点指向暂存的 \(B\)。整个操作只要找到 \(A\) 的父节点孩子即可完成。

完全同理，有对应的左旋操作，也称为「左单旋转」或「RR 平衡旋转」。左旋操作与右旋操作互为镜像。

一段可行的代码为：

实现

C++
int zig(int now) {                           // 以now为中心右旋
  int lchild = nodes[now].lchild;            // 暂存A的左孩子B节点
  nodes[now].lchild = nodes[lchild].rchild;  // 将A的左孩子指向B的右子树BR
  nodes[lchild].rchild = now;                // 将B的右孩子指针指向A
  update(nodes[lchild].rchild);  // 更新旋转后A与B两个节点的信息
  update(lchild);
  return lchild;  // 让A的父节点指向最初暂存的B
}

int zag(int now) {  // 以now为中心左旋
  int rchild = nodes[now].rchild;
  nodes[now].rchild = nodes[rchild].lchild;
  nodes[rchild].lchild = now;
  update(nodes[rchild].lchild);
  update(rchild);
  return rchild;
}

对于这段示例代码，只有调用者知道结点 \(A\) 的父结点是什么。对于这种情形，代码的返回值为新的子树根结点的下标，令调用者将左边为 \(A\) 的父节点赋值为指向新的子树根结点的下标即可。

对于拥有同样元素值集合的全体合法的二叉搜索树，可以证明，在任意两棵树之间均可通过若干右旋和左旋操作，完成从一棵树到另一棵树的变换。因此，借助右旋和左旋操作，可以将任意一棵合法的二叉搜索树调整至平衡状态。

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