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块状数组

建立块状数组

块状数组，即把一个数组分为几个块，块内信息整体保存，若查询时遇到两边不完整的块直接暴力查询。一般情况下，块的长度为 \(O(\sqrt{n})\)。详细分析可以阅读 2017 年国家集训队论文中徐明宽的《非常规大小分块算法初探》。

下面直接给出一种建立块状数组的代码。

实现
C++
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num = sqrt(n);
for (int i = 1; i <= num; i++)
  st[i] = n / num * (i - 1) + 1, ed[i] = n / num * i;
ed[num] = n;
for (int i = 1; i <= num; i++) {
  for (int j = st[i]; j <= ed[i]; j++) {
    belong[j] = i;
  }
  size[i] = ed[i] - st[i] + 1;
}

其中 st[i] 和 ed[i] 为块的起点和终点，size[i] 为块的大小。

保存与修改块内信息

例题 1：教主的魔法

两种操作：

  1. 区间 \([x,y]\) 每个数都加上 \(z\)；
  2. 查询区间 \([x,y]\) 内大于等于 \(z\) 的数的个数。

我们要询问一个块内大于等于一个数的数的个数，所以需要一个 t 数组对块内排序，a 为原来的（未被排序的）数组。对于整块的修改，使用类似于标记永久化的方式，用 delta 数组记录现在块内整体加上的值。设 \(q\) 为查询和修改的操作次数总和，则时间复杂度 \(O(q\sqrt{n}\log n)\)。

用 delta 数组记录每个块的整体赋值情况。

实现
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void Sort(int k) {
  for (int i = st[k]; i <= ed[k]; i++) t[i] = a[i];
  sort(t + st[k], t + ed[k] + 1);
}

void Modify(int l, int r, int c) {
  int x = belong[l], y = belong[r];
  if (x == y)  // 区间在一个块内就直接修改
  {
    for (int i = l; i <= r; i++) a[i] += c;
    Sort(x);
    return;
  }
  for (int i = l; i <= ed[x]; i++) a[i] += c;     // 直接修改起始段
  for (int i = st[y]; i <= r; i++) a[i] += c;     // 直接修改结束段
  for (int i = x + 1; i < y; i++) delta[i] += c;  // 中间的块整体打上标记
  Sort(x);
  Sort(y);
}

int Answer(int l, int r, int c) {
  int ans = 0, x = belong[l], y = belong[r];
  if (x == y) {
    for (int i = l; i <= r; i++)
      if (a[i] + delta[x] >= c) ans++;
    return ans;
  }
  for (int i = l; i <= ed[x]; i++)
    if (a[i] + delta[x] >= c) ans++;
  for (int i = st[y]; i <= r; i++)
    if (a[i] + delta[y] >= c) ans++;
  for (int i = x + 1; i <= y - 1; i++)
    ans +=
        ed[i] - (lower_bound(t + st[i], t + ed[i] + 1, c - delta[i]) - t) + 1;
  // 用 lower_bound 找出中间每一个整块中第一个大于等于 c 的数的位置
  return ans;
}

例题 2：寒夜方舟

两种操作：

  1. 区间 \([x,y]\) 每个数都变成 \(z\)；
  2. 查询区间 \([x,y]\) 内小于等于 \(z\) 的数的个数。

用 delta 数组记录现在块内被整体赋值为何值。当该块未被整体赋值时，用一个特殊值（如 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll）加以表示。对于边角块，查询前要 pushdown，把块内存的信息下放到每一个数上。赋值之后记得重新 sort 一遍。其他方面同上题。

实现
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void Sort(int k) {
  for (int i = st[k]; i <= ed[k]; i++) t[i] = a[i];
  sort(t + st[k], t + ed[k] + 1);
}

void PushDown(int x) {
  if (delta[x] != 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll)  // 用该值标记块内没有被整体赋值
    for (int i = st[x]; i <= ed[x]; i++) a[i] = t[i] = delta[x];
  delta[x] = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
}

void Modify(int l, int r, int c) {
  int x = belong[l], y = belong[r];
  PushDown(x);
  if (x == y) {
    for (int i = l; i <= r; i++) a[i] = c;
    Sort(x);
    return;
  }
  PushDown(y);
  for (int i = l; i <= ed[x]; i++) a[i] = c;
  for (int i = st[y]; i <= r; i++) a[i] = c;
  Sort(x);
  Sort(y);
  for (int i = x + 1; i < y; i++) delta[i] = c;
}

int Binary_Search(int l, int r, int c) {
  int ans = l - 1, mid;
  while (l <= r) {
    mid = (l + r) / 2;
    if (t[mid] <= c)
      ans = mid, l = mid + 1;
    else
      r = mid - 1;
  }
  return ans;
}

int Answer(int l, int r, int c) {
  int ans = 0, x = belong[l], y = belong[r];
  PushDown(x);
  if (x == y) {
    for (int i = l; i <= r; i++)
      if (a[i] <= c) ans++;
    return ans;
  }
  PushDown(y);
  for (int i = l; i <= ed[x]; i++)
    if (a[i] <= c) ans++;
  for (int i = st[y]; i <= r; i++)
    if (a[i] <= c) ans++;
  for (int i = x + 1; i <= y - 1; i++) {
    if (0x3f3f3f3f3f3f3f3fll == delta[i])
      ans += Binary_Search(st[i], ed[i], c) - st[i] + 1;
    else if (delta[i] <= c)
      ans += size[i];
  }
  return ans;
}

练习

  1. 单点修改，区间查询
  2. 区间修改，区间查询
  3. 【模板】线段树 2
  4. 「Ynoi2019 模拟赛」Yuno loves sqrt technology III
  5. 「Violet」蒲公英
  6. 作诗
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