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状压 DP

定义

状压 DP 是动态规划的一种，通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。

例题

「SCOI2005」互不侵犯

在 \(N\times N\) 的棋盘里面放 \(K\) 个国王（\(1 \leq N \leq 9, 1 \leq K \leq N \times N\)），使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。

国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共 \(8\) 个格子。

解释

设 \(f(i,j,l)\) 表示前 \(i\) 行，第 \(i\) 行的状态为 \(j\)，且棋盘上已经放置 \(l\) 个国王时的合法方案数。

对于编号为 \(j\) 的状态，我们用二进制整数 \(sit(j)\) 表示国王的放置情况，\(sit(j)\) 的某个二进制位为 \(0\) 表示对应位置不放国王，为 \(1\) 表示在对应位置上放置国王；用 \(sta(j)\) 表示该状态的国王个数，即二进制数 \(sit(j)\) 中 \(1\) 的个数。例如，如下图所示的状态可用二进制数 \(100101\) 来表示（棋盘左边对应二进制低位），则有 \(sit(j)=100101_{(2)}=37, sta(j)=3\)。

设当前行的状态为 \(j\)，上一行的状态为 \(x\)，可以得到下面的状态转移方程：\(f(i,j,l) = \sum f(i-1,x,l-sta(j))\)。

设上一行的状态编号为 \(x\)，在保证当前行和上一行不冲突的前提下，枚举所有可能的 \(x\) 进行转移，转移方程：

\[ f(i,j,l) = \sum f(i-1,x,l-sta(j)) \]

实现

参考代码
C++
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#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
long long sta[2005], sit[2005], f[15][2005][105];
int n, k, cnt;

void dfs(int x, int num, int cur) {
  if (cur >= n) {  // 有新的合法状态
    sit[++cnt] = x;
    sta[cnt] = num;
    return;
  }
  dfs(x, num, cur + 1);  // cur位置不放国王
  dfs(x + (1 << cur), num + 1,
      cur + 2);  // cur位置放国王，与它相邻的位置不能再放国王
}

bool compatible(int j, int x) {
  if (sit[j] & sit[x]) return false;
  if ((sit[j] << 1) & sit[x]) return false;
  if (sit[j] & (sit[x] << 1)) return false;
  return true;
}

int main() {
  cin >> n >> k;
  dfs(0, 0, 0);  // 先预处理一行的所有合法状态
  for (int j = 1; j <= cnt; j++) f[1][j][sta[j]] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= cnt; j++)
      for (int x = 1; x <= cnt; x++) {
        if (!compatible(j, x)) continue;  // 排除不合法转移
        for (int l = sta[j]; l <= k; l++) f[i][j][l] += f[i - 1][x][l - sta[j]];
      }
  long long ans = 0;
  for (int i = 1; i <= cnt; i++) ans += f[n][i][k];  // 累加答案
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

习题

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