跳转至

状压 DP

定义

状压 DP 是动态规划的一种,通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。

例题

「SCOI2005」互不侵犯

\(N\times N\) 的棋盘里面放 \(K\) 个国王(\(1 \leq N \leq 9, 1 \leq K \leq N \times N\)),使他们互不攻击,共有多少种摆放方案。

国王能攻击到它上下左右,以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子,共 \(8\) 个格子。

解释

\(f(i,j,l)\) 表示前 \(i\) 行,第 \(i\) 行的状态为 \(j\),且棋盘上已经放置 \(l\) 个国王时的合法方案数。

对于编号为 \(j\) 的状态,我们用二进制整数 \(sit(j)\) 表示国王的放置情况,\(sit(j)\) 的某个二进制位为 \(0\) 表示对应位置不放国王,为 \(1\) 表示在对应位置上放置国王;用 \(sta(j)\) 表示该状态的国王个数,即二进制数 \(sit(j)\)\(1\) 的个数。例如,如下图所示的状态可用二进制数 \(100101\) 来表示(棋盘左边对应二进制低位),则有 \(sit(j)=100101_{(2)}=37, sta(j)=3\)

设当前行的状态为 \(j\),上一行的状态为 \(x\),可以得到下面的状态转移方程:\(f(i,j,l) = \sum f(i-1,x,l-sta(j))\)

设上一行的状态编号为 \(x\),在保证当前行和上一行不冲突的前提下,枚举所有可能的 \(x\) 进行转移,转移方程:

\[ f(i,j,l) = \sum f(i-1,x,l-sta(j)) \]

实现

参考代码
C++
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
long long sta[2005], sit[2005], f[15][2005][105];
int n, k, cnt;

void dfs(int x, int num, int cur) {
  if (cur >= n) {  // 有新的合法状态
    sit[++cnt] = x;
    sta[cnt] = num;
    return;
  }
  dfs(x, num, cur + 1);  // cur位置不放国王
  dfs(x + (1 << cur), num + 1,
      cur + 2);  // cur位置放国王,与它相邻的位置不能再放国王
}

bool compatible(int j, int x) {
  if (sit[j] & sit[x]) return false;
  if ((sit[j] << 1) & sit[x]) return false;
  if (sit[j] & (sit[x] << 1)) return false;
  return true;
}

int main() {
  cin >> n >> k;
  dfs(0, 0, 0);  // 先预处理一行的所有合法状态
  for (int j = 1; j <= cnt; j++) f[1][j][sta[j]] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= cnt; j++)
      for (int x = 1; x <= cnt; x++) {
        if (!compatible(j, x)) continue;  // 排除不合法转移
        for (int l = sta[j]; l <= k; l++) f[i][j][l] += f[i - 1][x][l - sta[j]];
      }
  long long ans = 0;
  for (int i = 1; i <= cnt; i++) ans += f[n][i][k];  // 累加答案
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

习题