状态设计优化

概述

优化 dp 时，不止可以从转移过程入手，加速转移。有时，也可以从状态定义入手，通过改变设计状态的方式实现复杂度上的优化。

令人比较头疼的是，这类优化大多不具有通用性，即不能很套路地应用于多个题目中。因此，下文将从具体例题出发，力求提供思路上的启发，希望可以对读者有一定帮助。

题面

给定两个长度分别为 \(n,m\) 且仅由小写字母构成的字符串 \(A,B\), 求 \(A,B\) 的最长公共子序列。\((n\le 10^6,m\le 10^3)\)

您一眼秒了它，这不是板子吗？

定义状态 \(f_{i,j}\) 为 \(A\) 的前 \(i\) 位与 \(B\) 的前 \(j\) 位最长公共子序列，则有

\[ f_{i,j}= \begin{cases} \max(f_{i-1,j},f_{i,j-1}) & ,A_i \neq B_j \\ f_{i-1,j-1}+1 & ,A_i = B_j \end{cases} \]

上述做法的时间复杂度 \(O(nm)\)，无法通过本题。

我们仔细一想，发现了一个性质：最终答案不会超过 \(m\)。

我们又仔细一想，发现 LCS 满足贪心的性质。

更改状态定义 \(f_{i,j}\) 为与 \(B\) 前 \(i\) 位的最长公共子序列长度为 \(j\) 的 \(A\) 的最短前缀长度（即将朴素做法的答案与第一维状态对调）

可以通过预处理 \(A\) 的每一位的下一个 \(a,b,\cdots,z\) 的出现位置进行 \(O(1)\) 的顺推转移。

复杂度 \(O(m^2+26n)\)，可以通过本题。

题面

给定一个 \(n\) 个点的无权有向图，判断该图是否存在哈密顿回路。\((2\le n\le 20)\)

看到数据范围，我们考虑状压。

设 \(f_{s,i}\) 表示从点 \(1\) 出发，仅经过点集 \(s\) 中的点能否到达点 \(i\)。记 \(g\) 为原图的邻接矩阵。则有

\[ f_{s, i} = \bigvee_{j\in s, j\neq i}f_{s \setminus \{i\}, j}\wedge g_{j, i} \left(i\in s\right) \]

时间复杂度 \(O(n^2 \times 2^n)\)，写得好看或许能过，但是并不优美。

上面的状态设计中，每个 \(dp\) 值只代表一个 bool 值，这让我们觉得有些浪费。

我们可以考虑对于每个状态 \(s\) 将 \(f_{s,1},f_{s,2},\dots,f_{s,n}\) 压成一个 int，发现我们可以将邻接矩阵同样压缩后进行 \(O(1)\) 转移。

时间复杂度 \(O(n^2/w\times 2^n)\), 可以通过这道题，其中 \(w\) 为 int 的位数。

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