二分查找

二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

如下图所示，我们先初始化指针 \(i = 0\) 和 \(j = n - 1\) ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 \([0, n - 1]\) 。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步。

1. 计算中点索引 \(m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor\) ，其中 \(\lfloor \: \rfloor\) 表示向下取整操作。
2. 判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为以下三种情况。
   1. 当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 \([m + 1, j]\) 中，因此执行 \(i = m + 1\) 。
   2. 当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此执行 \(j = m - 1\) 。
   3. 当 nums[m] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引 \(m\) 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 \(-1\) 。

值得注意的是，由于 \(i\) 和 \(j\) 都是 int 类型，因此 \(i + j\) 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 \(m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor\) 来计算中点。

代码如下所示：

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[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}

时间复杂度为 \(O(\log n)\) ：在二分循环中，区间每轮缩小一半，因此循环次数为 \(\log_2 n\) 。

空间复杂度为 \(O(1)\) ：指针 \(i\) 和 \(j\) 使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 \([0, n)\) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 \([i, j)\) 在 \(i = j\) 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：

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[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}

如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。

由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针 \(i\) 和指针 \(j\) 缩小区间的操作也是对称的。这样更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。

优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

• 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 \(n = 2^{20}\) 时，线性查找需要 \(2^{20} = 1048576\) 轮循环，而二分查找仅需 \(\log_2 2^{20} = 20\) 轮循环。
• 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。

• 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\) ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 \(O(n)\) ，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
• 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 \(n\) 较小时，线性查找反而比二分查找更快。

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