汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

我们将规模为 \(i\) 的汉诺塔问题记作 \(f(i)\) 。例如 \(f(3)\) 代表将 \(3\) 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

考虑基本情况

如下图所示，对于问题 \(f(1)\) ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 A 移动至 C 即可。

如下图所示，对于问题 \(f(2)\) ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 B 来完成移动。

1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B 。
2. 再将大圆盘从 A 移至 C 。
3. 最后将小圆盘从 B 移至 C 。

解决问题 \(f(2)\) 的过程可总结为：将两个圆盘借助 B 从 A 移至 C 。其中，C 称为目标柱、B 称为缓冲柱。

子问题分解

对于问题 \(f(3)\) ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。

因为已知 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的解，所以我们可从分治角度思考，将 A 顶部的两个圆盘看作一个整体，执行下图所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 A 移至 C 了。

1. 令 B 为目标柱、C 为缓冲柱，将两个圆盘从 A 移至 B 。
2. 将 A 中剩余的一个圆盘从 A 直接移动至 C 。
3. 令 C 为目标柱、A 为缓冲柱，将两个圆盘从 B 移至 C 。

从本质上看，我们将问题 \(f(3)\) 划分为两个子问题 \(f(2)\) 和一个子问题 \(f(1)\) 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解可以合并。

至此，我们可总结出下图所示的解决汉诺塔问题的分治策略：将原问题 \(f(n)\) 划分为两个子问题 \(f(n-1)\) 和一个子问题 \(f(1)\) ，并按照以下顺序解决这三个子问题。

1. 将 \(n-1\) 个圆盘借助 C 从 A 移至 B 。
2. 将剩余 \(1\) 个圆盘从 A 直接移至 C 。
3. 将 \(n-1\) 个圆盘借助 A 从 B 移至 C 。

对于这两个子问题 \(f(n-1)\) ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 \(f(1)\) 。而 \(f(1)\) 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

代码实现

在代码中，我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是将柱 src 顶部的 \(i\) 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar ：

1

[file]{hanota}-[class]{}-[func]{solve_hanota}

如下图所示，汉诺塔问题形成一棵高度为 \(n\) 的递归树，每个节点代表一个子问题，对应一个开启的 dfs() 函数，因此时间复杂度为 \(O(2^n)\) ，空间复杂度为 \(O(n)\) 。

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