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数字编码 *

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在本书中,标题带有 * 符号的是选读章节。如果你时间有限或感到理解困难,可以先跳过,等学完必读章节后再单独攻克。

原码、反码和补码

在上一节的表格中我们发现,所有整数类型能够表示的负数都比正数多一个,例如 byte 的取值范围是 \([-128, 127]\) 。这个现象比较反直觉,它的内在原因涉及原码、反码、补码的相关知识。

首先需要指出,数字是以“补码”的形式存储在计算机中的。在分析这样做的原因之前,首先给出三者的定义。

  • 原码:我们将数字的二进制表示的最高位视为符号位,其中 \(0\) 表示正数,\(1\) 表示负数,其余位表示数字的值。
  • 反码:正数的反码与其原码相同,负数的反码是对其原码除符号位外的所有位取反。
  • 补码:正数的补码与其原码相同,负数的补码是在其反码的基础上加 \(1\)

下图展示了原码、反码和补码之间的转换方法。

原码、反码与补码之间的相互转换

原码(sign-magnitude)虽然最直观,但存在一些局限性。一方面,负数的原码不能直接用于运算。例如在原码下计算 \(1 + (-2)\) ,得到的结果是 \(-3\) ,这显然是不对的。

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 + 1000 \; 0010 \newline & = 1000 \; 0011 \newline & \rightarrow -3 \end{aligned} \]

为了解决此问题,计算机引入了反码(1's complement)。如果我们先将原码转换为反码,并在反码下计算 \(1 + (-2)\) ,最后将结果从反码转换回原码,则可得到正确结果 \(-1\)

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 \; \text{(原码)} + 1000 \; 0010 \; \text{(原码)} \newline & = 0000 \; 0001 \; \text{(反码)} + 1111 \; 1101 \; \text{(反码)} \newline & = 1111 \; 1110 \; \text{(反码)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(原码)} \newline & \rightarrow -1 \end{aligned} \]

另一方面,数字零的原码有 \(+0\)\(-0\) 两种表示方式。这意味着数字零对应两个不同的二进制编码,这可能会带来歧义。比如在条件判断中,如果没有区分正零和负零,则可能会导致判断结果出错。而如果我们想处理正零和负零歧义,则需要引入额外的判断操作,这可能会降低计算机的运算效率。

\[ \begin{aligned} +0 & \rightarrow 0000 \; 0000 \newline -0 & \rightarrow 1000 \; 0000 \end{aligned} \]

与原码一样,反码也存在正负零歧义问题,因此计算机进一步引入了补码(2's complement)。我们先来观察一下负零的原码、反码、补码的转换过程:

\[ \begin{aligned} -0 \rightarrow \; & 1000 \; 0000 \; \text{(原码)} \newline = \; & 1111 \; 1111 \; \text{(反码)} \newline = 1 \; & 0000 \; 0000 \; \text{(补码)} \newline \end{aligned} \]

在负零的反码基础上加 \(1\) 会产生进位,但 byte 类型的长度只有 8 位,因此溢出到第 9 位的 \(1\) 会被舍弃。也就是说,负零的补码为 \(0000 \; 0000\) ,与正零的补码相同。这意味着在补码表示中只存在一个零,正负零歧义从而得到解决。

还剩最后一个疑惑:byte 类型的取值范围是 \([-128, 127]\) ,多出来的一个负数 \(-128\) 是如何得到的呢?我们注意到,区间 \([-127, +127]\) 内的所有整数都有对应的原码、反码和补码,并且原码和补码之间可以互相转换。

然而,补码 \(1000 \; 0000\) 是一个例外,它并没有对应的原码。根据转换方法,我们得到该补码的原码为 \(0000 \; 0000\) 。这显然是矛盾的,因为该原码表示数字 \(0\) ,它的补码应该是自身。计算机规定这个特殊的补码 \(1000 \; 0000\) 代表 \(-128\) 。实际上,\((-1) + (-127)\) 在补码下的计算结果就是 \(-128\)

\[ \begin{aligned} & (-127) + (-1) \newline & \rightarrow 1111 \; 1111 \; \text{(原码)} + 1000 \; 0001 \; \text{(原码)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(反码)} + 1111 \; 1110 \; \text{(反码)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(补码)} + 1111 \; 1111 \; \text{(补码)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(补码)} \newline & \rightarrow -128 \end{aligned} \]

你可能已经发现了,上述所有计算都是加法运算。这暗示着一个重要事实:计算机内部的硬件电路主要是基于加法运算设计的。这是因为加法运算相对于其他运算(比如乘法、除法和减法)来说,硬件实现起来更简单,更容易进行并行化处理,运算速度更快。

请注意,这并不意味着计算机只能做加法。通过将加法与一些基本逻辑运算结合,计算机能够实现各种其他的数学运算。例如,计算减法 \(a - b\) 可以转换为计算加法 \(a + (-b)\) ;计算乘法和除法可以转换为计算多次加法或减法。

现在我们可以总结出计算机使用补码的原因:基于补码表示,计算机可以用同样的电路和操作来处理正数和负数的加法,不需要设计特殊的硬件电路来处理减法,并且无须特别处理正负零的歧义问题。这大大简化了硬件设计,提高了运算效率。

补码的设计非常精妙,因篇幅关系我们就先介绍到这里,建议有兴趣的读者进一步深入了解。

浮点数编码

细心的你可能会发现:intfloat 长度相同,都是 4 字节 ,但为什么 float 的取值范围远大于 int ?这非常反直觉,因为按理说 float 需要表示小数,取值范围应该变小才对。

实际上,这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。记一个 32 比特长度的二进制数为:

\[ b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0 \]

根据 IEEE 754 标准,32-bit 长度的 float 由以下三个部分构成。

  • 符号位 \(\mathrm{S}\) :占 1 位 ,对应 \(b_{31}\)
  • 指数位 \(\mathrm{E}\) :占 8 位 ,对应 \(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\)
  • 分数位 \(\mathrm{N}\) :占 23 位 ,对应 \(b_{22} b_{21} \ldots b_0\)

二进制数 float 对应值的计算方法为:

\[ \text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2 \]

转化到十进制下的计算公式为:

\[ \text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N}) \]

其中各项的取值范围为:

\[ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} \]

IEEE 754 标准下的 float 的计算示例

观察上图,给定一个示例数据 \(\mathrm{S} = 0\)\(\mathrm{E} = 124\)\(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\) ,则有:

\[ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875 \]

现在我们可以回答最初的问题:float 的表示方式包含指数位,导致其取值范围远大于 int 。根据以上计算,float 可表示的最大正数为 \(2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}\) ,切换符号位便可得到最小负数。

尽管浮点数 float 扩展了取值范围,但其副作用是牺牲了精度。整数类型 int 将全部 32 比特用于表示数字,数字是均匀分布的;而由于指数位的存在,浮点数 float 的数值越大,相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。

如下表所示,指数位 \(\mathrm{E} = 0\)\(\mathrm{E} = 255\) 具有特殊含义,用于表示零、无穷大、\(\mathrm{NaN}\)

  指数位含义

指数位 E 分数位 \(\mathrm{N} = 0\) 分数位 \(\mathrm{N} \ne 0\) 计算公式
\(0\) \(\pm 0\) 次正规数 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})\)
\(1, 2, \dots, 254\) 正规数 正规数 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})\)
\(255\) \(\pm \infty\) \(\mathrm{NaN}\)

值得说明的是,次正规数显著提升了浮点数的精度。最小正正规数为 \(2^{-126}\) ,最小正次正规数为 \(2^{-126} \times 2^{-23}\)

双精度 double 也采用类似于 float 的表示方法,在此不做赘述。