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小结

重点回顾

算法效率评估

  • 时间效率和空间效率是衡量算法优劣的两个主要评价指标。
  • 我们可以通过实际测试来评估算法效率,但难以消除测试环境的影响,且会耗费大量计算资源。
  • 复杂度分析可以消除实际测试的弊端,分析结果适用于所有运行平台,并且能够揭示算法在不同数据规模下的效率。

时间复杂度

  • 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势,可以有效评估算法效率,但在某些情况下可能失效,如在输入的数据量较小或时间复杂度相同时,无法精确对比算法效率的优劣。
  • 最差时间复杂度使用大 \(O\) 符号表示,对应函数渐近上界,反映当 \(n\) 趋向正无穷时,操作数量 \(T(n)\) 的增长级别。
  • 推算时间复杂度分为两步,首先统计操作数量,然后判断渐近上界。
  • 常见时间复杂度从低到高排列有 \(O(1)\)\(O(\log n)\)\(O(n)\)\(O(n \log n)\)\(O(n^2)\)\(O(2^n)\)\(O(n!)\) 等。
  • 某些算法的时间复杂度非固定,而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度,最佳时间复杂度几乎不用,因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。
  • 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率,最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。

空间复杂度

  • 空间复杂度的作用类似于时间复杂度,用于衡量算法占用内存空间随数据量增长的趋势。
  • 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下,输入空间不纳入空间复杂度计算。暂存空间可分为暂存数据、栈帧空间和指令空间,其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。
  • 我们通常只关注最差空间复杂度,即统计算法在最差输入数据和最差运行时刻下的空间复杂度。
  • 常见空间复杂度从低到高排列有 \(O(1)\)\(O(\log n)\)\(O(n)\)\(O(n^2)\)\(O(2^n)\) 等。

Q & A

Q:尾递归的空间复杂度是 \(O(1)\) 吗?

理论上,尾递归函数的空间复杂度可以优化至 \(O(1)\) 。不过绝大多数编程语言(例如 Java、Python、C++、Go、C# 等)不支持自动优化尾递归,因此通常认为空间复杂度是 \(O(n)\)

Q:函数和方法这两个术语的区别是什么?

函数(function)可以被独立执行,所有参数都以显式传递。方法(method)与一个对象关联,被隐式传递给调用它的对象,能够对类的实例中包含的数据进行操作。

下面以几种常见的编程语言为例来说明。

  • C 语言是过程式编程语言,没有面向对象的概念,所以只有函数。但我们可以通过创建结构体(struct)来模拟面向对象编程,与结构体相关联的函数就相当于其他编程语言中的方法。
  • Java 和 C# 是面向对象的编程语言,代码块(方法)通常作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于函数,因为它被绑定在类上,不能访问特定的实例变量。
  • C++ 和 Python 既支持过程式编程(函数),也支持面向对象编程(方法)。

Q:图解“常见的空间复杂度类型”反映的是否是占用空间的绝对大小?

不是,该图展示的是空间复杂度,其反映的是增长趋势,而不是占用空间的绝对大小。

假设取 \(n = 8\) ,你可能会发现每条曲线的值与函数对应不上。这是因为每条曲线都包含一个常数项,用于将取值范围压缩到一个视觉舒适的范围内。

在实际中,因为我们通常不知道每个方法的“常数项”复杂度是多少,所以一般无法仅凭复杂度来选择 \(n = 8\) 之下的最优解法。但对于 \(n = 8^5\) 就很好选了,这时增长趋势已经占主导了。