子集和问题

无重复元素的情况

例如，输入集合 \(\{3, 4, 5\}\) 和目标整数 \(9\) ，解为 \(\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}\) 。需要注意以下两点。

• 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
• 子集不区分元素顺序，比如 \(\{4, 5\}\) 和 \(\{5, 4\}\) 是同一个子集。

参考全排列解法

类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 target 时，就将子集记录至结果列表。

而与全排列问题不同的是，本题集合中的元素可以被无限次选取，因此无须借助 selected 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码：

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[file]{subset_sum_i_naive}-[class]{}-[func]{subset_sum_i_naive}

向以上代码输入数组 \([3, 4, 5]\) 和目标元素 \(9\) ，输出结果为 \([3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]\) 。虽然成功找出了所有和为 \(9\) 的子集，但其中存在重复的子集 \([4, 5]\) 和 \([5, 4]\) 。

这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 \(4\) 后选 \(5\) 与先选 \(5\) 后选 \(4\) 是不同的分支，但对应同一个子集。

为了去除重复子集，一种直接的思路是对结果列表进行去重。但这个方法效率很低，有两方面原因。

• 当数组元素较多，尤其是当 target 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
• 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。

重复子集剪枝

我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重。观察下图，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。

1. 当第一轮和第二轮分别选择 \(3\) 和 \(4\) 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 \([3, 4, \dots]\) 。
2. 之后，当第一轮选择 \(4\) 时，则第二轮应该跳过 \(3\) ，因为该选择产生的子集 \([4, 3, \dots]\) 和第 1. 步中生成的子集完全重复。

在搜索过程中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。

1. 前两轮选择 \(3\) 和 \(5\) ，生成子集 \([3, 5, \dots]\) 。
2. 前两轮选择 \(4\) 和 \(5\) ，生成子集 \([4, 5, \dots]\) 。
3. 若第一轮选择 \(5\) ，则第二轮应该跳过 \(3\) 和 \(4\) ，因为子集 \([5, 3, \dots]\) 和 \([5, 4, \dots]\) 与第 1. 步和第 2. 步中描述的子集完全重复。

总结来看，给定输入数组 \([x_1, x_2, \dots, x_n]\) ，设搜索过程中的选择序列为 \([x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]\) ，则该选择序列需要满足 \(i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m\) ，不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝。

代码实现

为实现该剪枝，我们初始化变量 start ，用于指示遍历起始点。当做出选择 \(x_{i}\) 后，设定下一轮从索引 \(i\) 开始遍历。这样做就可以让选择序列满足 \(i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m\) ，从而保证子集唯一。

除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。

• 在开启搜索前，先将数组 nums 排序。在遍历所有选择时，当子集和超过 target 时直接结束循环，因为后边的元素更大，其子集和一定超过 target 。
• 省去元素和变量 total ，通过在 target 上执行减法来统计元素和，当 target 等于 \(0\) 时记录解。

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[file]{subset_sum_i}-[class]{}-[func]{subset_sum_i}

下图所示为将数组 \([3, 4, 5]\) 和目标元素 \(9\) 输入以上代码后的整体回溯过程。

考虑重复元素的情况

相比于上题，本题的输入数组可能包含重复元素，这引入了新的问题。例如，给定数组 \([4, \hat{4}, 5]\) 和目标元素 \(9\) ，则现有代码的输出结果为 \([4, 5], [\hat{4}, 5]\) ，出现了重复子集。

造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择。在下图中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 \(4\) ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 \(4\) 也会产生重复子集。

相等元素剪枝

为解决此问题，我们需要限制相等元素在每一轮中只能被选择一次。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。

与此同时，本题规定每个数组元素只能被选择一次。幸运的是，我们也可以利用变量 start 来满足该约束：当做出选择 \(x_{i}\) 后，设定下一轮从索引 \(i + 1\) 开始向后遍历。这样既能去除重复子集，也能避免重复选择元素。

代码实现

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[file]{subset_sum_ii}-[class]{}-[func]{subset_sum_ii}

下图展示了数组 \([4, 4, 5]\) 和目标元素 \(9\) 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。

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