全排列问题

全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出其中元素的所有可能的排列。

下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。

表   全排列示例

无相等元素的情况

从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 \([1, 2, 3]\) ，如果我们先选择 \(1\) ，再选择 \(3\) ，最后选择 \(2\) ，则获得排列 \([1, 3, 2]\) 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。

从回溯代码的角度看，候选集合 choices 是输入数组中的所有元素，状态 state 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，因此 state 中的所有元素都应该是唯一的。

如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一棵递归树，树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。

重复选择剪枝

为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。

• 在做出选择 choice[i] 后，我们就将 selected[i] 赋值为 \(\text{True}\) ，代表它已被选择。
• 遍历选择列表 choices 时，跳过所有已被选择的节点，即剪枝。

如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。

观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 \(O(n^n)\) 减小至 \(O(n!)\) 。

代码实现

想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将它们展开在 backtrack() 函数中：

1

[file]{permutations_i}-[class]{}-[func]{permutations_i}

考虑相等元素的情况

假设输入数组为 \([1, 1, 2]\) 。为了方便区分两个重复元素 \(1\) ，我们将第二个 \(1\) 记为 \(\hat{1}\) 。

如下图所示，上述方法生成的排列有一半是重复的。

那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希集合，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支没有必要，应当提前识别并剪枝，这样可以进一步提升算法效率。

相等元素剪枝

观察下图，在第一轮中，选择 \(1\) 或选择 \(\hat{1}\) 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 \(\hat{1}\) 剪枝。

同理，在第一轮选择 \(2\) 之后，第二轮选择中的 \(1\) 和 \(\hat{1}\) 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 \(\hat{1}\) 剪枝。

从本质上看，我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次。

代码实现

在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希集合 duplicated ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝：

1

[file]{permutations_ii}-[class]{}-[func]{permutations_ii}

假设元素两两之间互不相同，则 \(n\) 个元素共有 \(n!\) 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 \(n\) 的列表，使用 \(O(n)\) 时间。因此时间复杂度为 \(O(n!n)\) 。

最大递归深度为 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 栈帧空间。selected 使用 \(O(n)\) 空间。同一时刻最多共有 \(n\) 个 duplicated ，使用 \(O(n^2)\) 空间。因此空间复杂度为 \(O(n^2)\) 。

两种剪枝对比

请注意，虽然 selected 和 duplicated 都用于剪枝，但两者的目标不同。

• 重复选择剪枝：整个搜索过程中只有一个 selected 。它记录的是当前状态中包含哪些元素，其作用是避免某个元素在 state 中重复出现。
• 相等元素剪枝：每轮选择（每个调用的 backtrack 函数）都包含一个 duplicated 。它记录的是在本轮遍历（for 循环）中哪些元素已被选择过，其作用是保证相等元素只被选择一次。

下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。

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